Si le carré qui est construit sur un des côtés d'un triangle est égal aux carrés construits sur les autres côtés du triangle, l'angle compris entre ces deux derniers côtés est droit.
Que le carré construit sur un côté BC (fig. 46) d'un triangle ABC, soit égal aux carrés construits sur les deux autres côtés BA, AC : je dis que l'angle BAC est droit.
Conduisez du point A une droite AD perpendiculaire sur la droite AC (prop. 11) ; faites la droite AD égale à la droite BA, et conduisez la droite DC.
Car puisque la droite DA est égale à la droite AB, le carré construit sur DA sera égal au carré construit sur AB. Donc si nous ajoutons un carré commun, celui qui est construit sur AC, les carrés construits sur DA, AC seront égaux aux carrés construits sur BA, AC. Mais le carré construit sur DC est égal aux carrés construits sur DA, AC (prop. 47) car l'angle DAC est droit. Or le carré construit sur BG est supposé égal aux carrés construits sur BA, AC : donc le carré construit sur DC est égal à celui qui est construit sur BC : donc le côté DC est égal au côté CB ; et comme le côté AD est égal au côté AB et que le côté AC est commun, les deux côtés AD, AC sont égaux aux deux côtés BA, BC, chacun à chacun ; mais la base DC est égale à la base CB ; donc l'angle DAC est égal à l'angle BAC (prop. 8) ; mais l'angle DAC est droit : donc l'angle BAC est droit aussi.
Donc si le carré construit sur un côté d'un triangle est égal aux carrés construits sur les deux autres côtés, l'angle compris par ces deux derniers côtés sera droit ; ce qu'il fallait démontrer.