Dans les triangles rectangles, le carré décrit sur le côté opposé à l'angle droit est égal aux carrés construits sur les côtés oui comprennent l'angle droit.
Soit ABC (fig. 45) un triangle rectangle dont l'angle droit est BAC : je dis que le carré construit sur le coté BC est égal aux carrés construits sur les côtés BA, AC.
Construisez le carré BDEC sur le côté BC ; construisez aussi les deux carrés GB, HC sur les côtés BA, AC, et par le point A conduisez une droite AL parallèle à l'une ou à l'autre des droites BD, CE ; conduisez ensuite les droites AD, FC.
Puisque chacun des angles BAC, BAG est droit et que les deux droites AC, AG, placées de part et d'autre de la droite BA, font au point A, avec la droite AB, deux angles de suite égaux à deux angles droits, la droite CA est dans la direction de la droite AG : la droite AB est dans la direction de la droite AH, par la même raison ; et puisque l'angle DBC est égal à l'angle FBA (axiome 10), étant droits l'un et l'autre, si nous leur ajoutons un angle commun ABC, l'angle total DBA sera égal à l'angle total FBC ; mais les deux droites DB, BA étant égales aux deux droites CB, BF, chacune à chacune, et l'angle DBA égal à l'angle FBC, la base AD sera égale à la base FC, et le triangle ABD égal au triangle FBC (prop. 4). Or le parallélogramme BL est double du triangle ABD (prop. 41) car ils ont la même base BD et sont compris entre les mêmes parallèles BD, AL. Le carré GB est aussi double du triangle FBC, car ils ont la même base FB et sont compris entre les mêmes parallèles FB, GC, mais les quantités qui sont doubles de quantités égales sont égales entre elles : donc le parallélogramme BL est égal au carré GB.
Ayant conduit les droites AE, BK, nous démontrerons de la même manière que le parallélogramme CL est égal au carré HC : donc le carré total BDEC est égal aux deux carrés GB, HC ; mais le carré BDEC est construit sur le côté BC, et les carrés GB, HC sont construits sur les côtés BA, AC : donc le carré BE, construit sur le côté BC, est égal aux carrés construits sur les côtés BA, AC.
Donc dans les triangles rectangles, le carré construit sur le côté opposé à l'angle droit est égal aux deux carrés construits sur les côtés qui comprennent l'angle droit ; ce qu'il fallait démontrer.