Décrire un carré sur une droite donnée.
Soit AB (fig. 44) la droite donnée : il faut décrire un carré sur cette droite.
Du point A, donné dans la droite AB, conduisez une droite AC perpendiculaire sur la droite AB (prop. 11) ; faites la droite AD égale à la droite AB (prop. 31) ; par le point D conduisez la droite DE parallèle à la droite AB (prop. 31), et par le point B conduisez aussi une droite BE parallèle à la droite AD.
La figure ADEB est un, parallélogramme : donc la droite AB est égale à la droite DE, et la droite AD égale à la droite BE ; mais la droite AB est égale à la droite AD : donc les quatre droites BA, AD, DE, EB sont égales entre elles : donc le parallélogramme ADEB, est équilatéral. Je dis de plus, qu'il est rectangle, car puisque la droite AD tombe sur les parallèles AB, DE, les angles BAD, ADE sont égaux à deux droits (prop. 29) ; mais l'angle BAD est droit par construction ; donc l'angle ADE est droit aussi. Mais les côtés et angles opposés des parallélogrammes sont égaux (prop. 34) ; donc chacun des angles opposés ABE, BED est droit, et par conséquent le parallélogramme ADEB est rectangle ; mais nous avons démontré qu'il était équilatéral.
Donc le parallélogramme ADEB est un carré décrit sur la droite AB ; ce qu'il fallait faire.