Construire, dans un angle donné, un parallélogramme qui soit égal à une figure rectiligne donnée.
Soit ABCD (fig. 43) la figure rectiligne donnée et E l'angle donné : il faut, dans un angle égal à l'angle E, construire un parallélogramme qui soit égal à la figure ABCD.
Conduisez la droite DB, et construisez dans l'angle HKF égal à l'angle E, un parallélogramme FH qui soit égal au triangle ADB, et sur la droite GH construisez ensuite dans l’angle GHM égal à l'angle E, un parallélogramme GM qui soit égal au triangle DBC.
Puisque l'angle E est égal à chacun des angles HKF, GHM, l'angle GHM sera égal, à l'angle HKF : donc si nous leur ajoutons l'angle commun KHG, les angles FKH, KHG seront égaux aux angles KHG, GHM. Mais les angles FKH, KHG sont égaux à deux angles droits (prop. 29) : donc les angles KHG, GHM seront égaux à deux angles droits. Mais puisque les deux droites KH, HM, placées de différents côtés, font sur la droite GH et au point H de cette droite, deux angles de suite égaux à deux droits, la droite KH est dans la direction de la droite HM (prop. 14) ; et puisque la droite HG tombe sur les parallèles KM, PG, les angles alternes MHG, HGF sont égaux (prop. 29) ; donc si nous leur ajoutons l'angle commun HGL, les angles MHG, HGL seront égaux aux angles HGF, HGL. Mais les angles MHG, HGL sont égaux à deux angles droits (prop. 29) ; donc les angles HGF, HGL seront aussi égaux à deux angles droits ; donc la droite FG est dans la direction de la droite GL; et puisque la droite KF est égale et parallèle à la droite HG, et que la droite HG est aussi égale et parallèle à la droite ML, la droite KF sera égale et parallèle à la droite ML (ax. 1 et prop. 30). Mais ces deux droites sont jointes ensemble par les droites RM, FL : donc les droites KM, FL sont égales et parallèles (prop. 33) : donc la figure KFLM est un parallélogramme ; mais comme le triangle ABD est égal au parallélogramme HF, et que le triangle ABC est égal au parallélogramme GM, la figure totale ABCD sera égale au parallélogramme total KFLM.
Donc le parallélogramme KFLM a été construit égal à la figure rectiligne ABCD, dans l’angle FKM égal à l’angle donné E ; ce qu'il fallait faire.