Sur une droite donnée et dans un angle donné, construire un parallélogramme qui soit égal à un triangle donné.
Soient donnés la droite AB (fig. 42), le triangle C et l'angle D : il faut sur la droite AB et dans un angle égal à l'angle D, construire un parallélogramme égal au triangle donné C.
Construisez un parallélogramme BEFG égal au triangle C ; dans un angle EBG égal à l'angle D (prop. 42) ; placez la droite BE dans la direction de la droite AB ; prolongez la droite FG vers H ; et par le point A conduisez la droite AH parallèle à la droite BG ou à la droite EF (prop. 31), et menez la droite GB. Puisque la droite HF tombe sur les parallèles AH, EF, les angles AHF, HFE sont égaux à deux angles droits (prop. 29) : donc les angles BHG, GFE sont moindres que deux angles droits ; mais les droites qui sont prolongées à l'infini du coté où les angles intérieurs sont moindres que deux angles droits se rencontrent (ax. 11) : donc les droites HB, FE se rencontreront étant prolongées ; que ces deux droites soient prolongées (dem. 2), et supposons qu'elles se rencontrent en K ; par le point K conduisez la droite KL parallèle à la droite EA ou à la droite FH (prop. 31), et prolongez les droites AH, GB vers les points L, M.
La figure HLKF est un parallélogramme dont HK est la diagonale ; autour de la diagonale, HK sont les parallélogrammes AG, ME, et les parallélogrammes LB, BF, qu'on nomme compléments : donc le parallélogramme LB est égal au parallélogramme BF (prop. 43) ; mais le parallélogramme BF est égal au triangle C ; donc le parallélogramme LB sera égal au triangle C ; et puisque l'angle GBE est égal à l'angle ABM (prop. 15) et que l'angle GBE est égal à l'angle D, l’angle ABM sera égal à l'angle D.
Donc sur la droite donnée AB et dans un angle ABM égal à l'angle D, le parallélogramme LB a été construit égal au triangle donné C ; ce qu'il fallait faire.