Les triangles construits sur des bases égales et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux.
Soient les triangles ABC, DEF (fig. 36) construits sur des bases égales BC, EF et entre les mêmes parallèles BF, AD : je dis que le triangle ABC est égal au triangle DEF.
Car prolongez de part et d'autre la droite AD vers les points G, H ; par le point B conduisez la droite BG parallèle à la droite CA (prop. 31), et par le point F conduisez aussi la droite FH parallèle à la droite DE.
Les figures GBCA, DEFH sont des parallélogrammes ; mais les parallélogrammes GBCA, DEFH sont égaux entre eux (prop. 36), car ils sont construits sur des bases égales et entre les mêmes parallèles. Or le triangle ABC est la moitié du parallélogramme GBCA, car la diagonale AB le partage en deux parties égales (prop. 34) ; le triangle EFD est la moitié du parallélogramme DEFH, car la diagonale DF le partage en deux parties égales ; mais les moitiés des quantités égales sont égales entre elles : donc le triangle ABC est égale au triangle DEF.
Donc les triangles construits sur des bases égales et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux ; ce qu'il fallait démontrer.