Les triangles construits sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux.
Soient les triangles ABC, DBC (fig. 35) construits sur la même base BC et entre les mêmes parallèles AD, BC : je dis que le triangle ABC est égal au triangle DBC.
Prolongez de part et d'autre la droite AD vers les points E, F, et par le point B conduisez une droite BE parallèle à la droite CA (prop. 31), et par le point C conduisez aussi une droite CF parallèle à BD.
Les figures EBCA, DBCF sont des parallélogrammes, et le parallélogramme EBCA est égal au parallélogramme DBCF (prop. 35) ; car ils sont construits l'un et l'autre sur la même base et entre les mêmes parallèles ; mais le triangle ABC est la moitié du parallélogramme EBCA ; car la diagonale AB le partage en deux parties égales; le triangle DBC est la moitié du parallélogramme DBCF, car la diagonale DC la partage en deux parties égales (prop. 34) ; mais, les moitiés des quantités égales sont égales entre elles ; donc le triangle ABC est égal au triangle DBC.
Donc les triangles construits sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux ; ce qu'il fallait démontrer.