Les côtés et les angles opposés des parallélogrammes sont égaux, et la diagonale les partage en deux parties égales.
Soit ACDB (fig. 32) un parallélogramme et BC sa diagonale : je dis que les côtés et les angles opposés du parallélogramme ACDB sont égaux, et que sa diagonale BC le partage en deux parties égales.
Car puisque la droite AB est parallèle à la droite CD et que la droite BC tombe sur ces deux droites, les angles alternes ABC, BCD seront égaux entre eux (prop. 29). De plus, puisque la droite AC est parallèle à la droite BD et que la droite BC tombe sur ces deux droites, les angles alternes ACB, CBD sont égaux entre eux ; donc les deux triangles ABC, CBD ont deux angles ABC, BCA égaux aux deux angles BCD, CBD, chacun à chacun, ils ont de plus un côté commun BC adjacent à des angles égaux : donc ils auront les autres côtés égaux aux autres côtés, chacun à chacun (prop. 26), et le troisième angle égal au troisième angle : donc le côté AB est égal au côté CD, et l'angle BAC égal à l'angle BDC. Puisque l’angle ABC est égal à l'angle BCD, et l'angle CBD égal à l'angle ACB, l'angle total ABD sera égal à l'angle total ACD : Mais il a été démontré que l'angle BAC est égal à l’angle BDC.
Donc les côtés et les angles opposés des parallélogrammes sont égaux entre eux.
Je dis de plus que la diagonale partage les parallélogrammes en deux parties égales. Car puisque la droite AB est égale à la droite CD et que la droite BC est commune aux deux triangles, les deux droites AB, BC seront égales aux droites DC, CB, chacune à chacune ; mais l'angle ABC est égal à l'angle BCD : donc la base AC est égale à la base BC (prop. 4), et le triangle ABC égal au triangle BCD.
Donc la diagonale BC partage le parallélogramme ACDB en deux parties égales ; ce qu'il fallait démontrer.