Ayant prolongé un côté d'un triangle quelconque, l'angle extérieur est égal aux deux angles intérieurs et opposés, et les trois angles intérieurs du triangle sont égaux à deux droits.
Soit le triangle ABC (fig. 31) ; prolongez le côté BC vers D : je dis que l’angle extérieur ACD est égal aux deux angles intérieurs et opposés CAB, ABC, et que les trois angles intérieurs ABC, BCA, CAB sont égaux à deux droits.
Menez par le point C la droite CE parallèle à la droite AB (prop. 21).
Puisque la droite CE est parallèle à la droite AB et que la droite AC tombe sur ces deux droites, les angles alternes BAC, ACE sont égaux entre eux (prop. 29). De plus, puisque la droite AB est parallèle à la droite CE et que la droite BD tombe sur ces deux droites, l'angle extérieur ECD est égal à l'angle intérieur et opposé ABC. Or il a été démontré que l'angle ACE est égal à l'angle BAC : donc l'angle extérieur total ACD est égal aux deux angles extérieurs et opposés BAC, ABC.
Donc si on ajoute un angle commun ACB, les angles ACD, ACB seront égaux aux trois angles ACB, BCA, CAB ; mais les angles ACD, ACB sont égaux à deux droits (prop. 13) : donc les angles ACB, CBA, CAB sont égaux à deux droits.
Donc, ayant prolongé un côté de tout triangle, l'angle extérieur est égal aux deux angles intérieurs et opposés, et les trois angles intérieurs du triangle sont égaux à deux droits ; ce qu'il fallait démontrer.