Si une droite tombe sur deux parallèles, les angles alternes sont égaux entre eux, l'angle extérieur est égal à l'angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs placés du même côté sont égaux à deux droits.
Si la droite EF (fig. 28) tombe sur les parallèles AB, CD, je dis que les angles alternes AGH, GHD seront égaux entre eux, l'angle extérieur EGB sera égal à l'angle intérieur opposé et placé du même côté GHD, et les angles intérieurs et placés du même côté BGH, GHD seront égaux à deux droits.
Car si l'angle AGH n'est pas égal à l'angle GHD, l'un de ces angles sera plus grand. Que l'angle AGH soit le plus grand ; puisque l'angle AGH est plus grand que l'angle GHD, si on leur ajoute un angle commun BGH, les angles AGH, BGH seront plus grands que les angles BGH, GHD ; mais les angles AGH, BGH sont égaux à deux droits (prop. 13) : donc les angles BGH, GHD sont moindres que deux droits ; mais deux droites étant prolongées à l'infini du côté où les angles intérieurs sont plus petits que deux droits se rencontrent entre elles (ax. 11) : donc les droites AB, CD prolongées à l'infini se rencontreront ; mais elles ne se rencontreront pas puisqu'elles sont parallèles : donc les angles AGH, GHD né sont point inégaux, donc ils sont égaux. Mais l'angle AGH est égal à l'angle EGB (prop. 15) : donc l'angle EGB sera égal à l'angle GHD. Donc si nous ajoutons un angle commun BGH, les angles EGB, BGH seront égaux aux angles BGH, GHD ; mais les angles EGB, BGH sont égaux à deux droits (prop. 13) : donc les angles BGH, GHD sont égaux à deux droits.
Donc si une droite tombe sur deux parallèles, les angles alternes sont égaux entre eux, l'angle, extérieur est égal à l'angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs placés du même côté sont égaux à deux droits ; ce qu'il fallait démontrer.