Si une droite tombant sur deux autres droites fait les angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles.
Que la droite EF (fig. 27) tombant sur les deux droites AB, CD fasse les angles alternes AEF, EFD égaux entre eux : je dis que la droite AB est parallèle à la droite CD.
Car si elle ne lui est pas parallèle, les droites AB, CD étant prolongées se rencontreront ou du côté BD ou du côté AC. Prolongez ces droites, et supposons qu'elles se rencontrent du côté BD au point G.
L'angle AEF, qui est hors du triangle EGF, est plus grand que l'angle intérieur et opposé EFG (prop. 16) ; mais par supposition il lui est égal, ce qui est impossible : donc les droites AB, CD prolongées du côté BD ne se rencontreront point. On démontrerait de la même manière qu'elles ne se rencontreront pas non plus du côté AC ; or les droites qui ne se rencontrent d'aucun côté sont parallèles (déf. 25) : donc la droite AB est parallèle à la droite CD.
Donc si une droite tombant sur deux autres droites fait les angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles ; ce qu'il fallait démontrer.