Si deux triangles ont deux angles égaux, chacun à chacun, s'ils ont de plus un coté égal à un côté, ou celui qui est adjacent aux angles égaux ou celui qui est opposé à un des angles égaux, ils auront les autres côtés égaux, chacun à chacun, et le troisième angle de l'un sera encore égal au troisième angle de l’autre.
Soient ABC, DEF (fig. 26) deux triangles qui aient les deux angles ABC, BCA égaux aux deux angles DEF, EFD, chacun à chacun, c'est-à-dire l'angle ABC égal à l'angle DEF et l'angle BCA égal à l'angle EFD ; que ces deux triangles aient aussi un côté égal à un côté, et d'abord celui qui est adjacent aux angles égaux, c'est-à-dire le côté BC égal au côté EF : je dis qu'ils auront les autres côtés égaux aux autres côtés, chacun à chacun, c'est-à-dire le côté AB égal au côté DE, et le côté AC égal au côté DF ; je dis de plus que l'angle BAC sera encore égal à l'angle EDF.
Car si le côté AB n'est pas égal au côté DE, l'un de ces côtés sera plus grand que l'autre. Soit AB le plus grand côté ; faites la droite GB égale au côté DE (prop. 3), et conduisez la droite GC.
Puisque le côté BG est égal au côté DE, et le côté BC égal au côté EF, les deux côtés BG, BC sont égaux aux deux côtés DE, EF, chacun à chacun ; mais l'angle GBC est égal à l'angle DEF : donc la base GC est égale à la base DF (prop. 4) ; le triangle GCB est égal au triangle DEF, et les autres angles qui sont opposés à des côtés égaux sont aussi égaux entre eux : donc l'angle GCB est égal à l'angle DFE ; mais l'angle DFE est supposé égal à l'angle BCA : donc l'angle BCG est égal à l'angle BCA, c'est-à-dire que le plus petit est égal au plus grand, ce qui est impossible : donc les côtés AB et DE ne sont pas inégaux : donc ils sont égaux ; mais le côté BG est égal au côté EF : donc les deux côtés AB, BC sont égaux aux deux côtés DE, EF, chacun à chacun ; mais l'angle ABC est égal à l'angle DEF : donc la base AC est égale à la base DF (prop. 4), et le troisième angle BAC est égal au troisième angle EDF.
Supposons à présent que les côtés qui sont opposés aux angles égaux soient égaux, c'est-à-dire le côté AB égal au côté DE : je dis que les autres côtés de l'un de ces triangles sont encore égaux aux autres côtés de l'autre triangle ; c'est-à-dire que le côté AC sera égal au côté DF, le côté BC égal au côté EF, et le troisième BAC égal aussi au troisième angle EDF.
Car si le côté BC n'est pas égal au côté EF, l'un de ces côtés sera plus grand que l'autre. Supposons s'il est possible que BC soit le plus grand ; faites BH égal au côté EF (prop. 3), et conduisez la droite AH.
Puisque le côté BH est égal au côté EF et le côté AB égal au côté DE, les deux côtés AB, BH seront égaux aux deux côtés DE, EF, chacun à chacun ; mais ces côtés comprennent des angles égaux : donc la base AH est égale à la base DF (prop. 4) 5 le triangle ABH est égal au triangle DEF, et les autres angles qui sont opposés à des côtés égaux seront aussi égaux, chacun à chacun : donc l'angle BHA est égal à l'angle EFD ; mais par supposition l'angle EFD est égal à l'angle BGA : donc l'angle BHA est égal à l'angle BCA, c'est-à-dire que l'angle extérieur BHA du triangle ACH est égal à l'angle BCA intérieur et opposé ; ce qui est impossible (prop. 16) : donc les côtés BG et EF ne sont pas inégaux : donc ils sont égaux. Mais le côté AB est égal au côté DE : donc les deux côtés AB, BC sont égaux aux deux côtés DE, EF, chacun à chacun ; mais ces côtés comprennent des angles égaux : donc la base AC est égale à la base DF (prop. 4) ; le triangle ABC est égal au triangle DEF, et le troisième angle BAC égal aussi à un troisième angle EDF.
Donc si deux triangles ont deux angles égaux, chacun à chacun, et un côté quelconque égal à un côté, ou celui qui est adjacent aux angles égaux, ou celui qui est opposé à un des angles égaux, les autres côtés sont égaux aux autres côtés, chacun à chacun, et ces deux triangles auront un troisième angle égal à un troisième angle ; ce qu'il fallait démontrer.