Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si l'un des angles compris entre ces côtés égaux est plus grand que l'autre, la base de l'un de ces triangles sera aussi plus grande que la base de l'autre.
Soient les deux triangles ABC, DEF (fig. 24) dont les deux côtés AB, AC sont égaux aux deux côtés. DE, DF, chacun à chacun, c'est-à-dire le côté AB égal au côté DE et le côté AC au côté DF ; que l'angle BAC soit plus grand que l'angle EDF : je dis que la basé BC est plus grande que la base EF.
Car puisque l'angle BAC est plus grand que l'angle EDF, construisez sur la droite DE et au point D un angle EDG égal à l'angle BAC (prop. 23) ; faites la droite DG égale à l'une ou à l'autre des droites AC, DF (prop. 3), et conduisez les droites GE, FG.
Puisque la droite AB est égale à la droite DE, et la droite AC égale à la droite DG, les deux droites BA, AC seront égales aux deux droites ED, DG, chacune à chacune ; mais l'angle BAC est égal par construction à l'angle EDG: donc la base BC sera égale à la base EG (prop. 4). De plus, puisque la droite DG est égale à la droite DF, et l'angle DFG sera égal à l'angle DGF (prop. 5), donc l'angle DFG sera plus grand que l'angle EGF : donc l'angle EFG sera beaucoup plus grand que l'angle EGF ; mais puisque l'angle EFG du triangle EFG est plus grand que l'angle EGF, et qu'un angle plus grand est opposé à un côté plus grand (prop. 19), le côté EG est plus grand que le côté EF ; mais le côté EG est égal au côté BC par construction : donc le côté BC est plus grand que le côté EF.
Donc si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si l'un des angles compris entre ces côtés égaux est plus grand que l'autre, la base de l'un de ces triangles sera plus grande que la base de l'autre.