Si des extrémités d'un côté d'un triangle on mène deux droites qui se rencontrent dans ce triangle, ces deux droites seront plus courtes que les deux autres cotés du triangle, mais elles comprendront un angle plus grand.
Des extrémités B, C (fig. 21) du côté BC, menez en dedans du triangle ABC les deux droites BD, DC : je dis que les droites BD, DC seront plus petites que les deux autres côtés BA, AC du triangle ABC, et qu’elles comprendront un angle BDC plus grand que l'angle BAC.
Prolongez la droite BD jusqu'au point E.
Puisque deux côtés d'un triangle quelconque sont plus grands que le côté restant (prop. 20), les deux côtés AB, AE du triangle ABE sont plus grands que le côté BE. Donc si nous ajoutons une droite commune EC, les côtés BA, AG seront plus grands que les droites BE, EG. De plus, puisque les deux côtés CE, ED du triangle CED sont plus grands que le côté CD, si nous ajoutons une droite commune DB, les droites CE, EB seront plus grandes que les droites CD, DB ; mais on a démontré que les côtés BA, AC sont plus grands que les droites BE, EC : donc les côtés BA, AC sont beaucoup plus grands que les côtés BD, DC.
Mais comme un angle extérieur d'un triangle quelconque est plus grand qu'un des angles intérieurs et opposés (prop. 16), l'angle BDC, qui est un angle extérieur du triangle CDE, est plus grand que l'angle CED. Par la même raison l'angle CEB, qui est un angle extérieur du triangle ABE, est plus grand que l'angle BAC ; mais il a été démontré que l'angle BDG est plus grand que l'angle CEB : donc l'angle BDC est beaucoup plus grand que l'angle BAC.
Donc si des extrémités d'un côté d'un triangle quelconque on mène deux droites qui se rencontrent dans ce triangle, ces deux droites seront plus petites que les deux autres côtés du triangle, et elles comprendront un plus grand angle ; ce qu'il fallait démontrer.