Deux cotés d'un triangle quelconque, de quelque manière qu'ils soient pris sont plus grands que le côté restant.
Car soit le triangle ABC (fig. 20) : je dis que deux côtés du triangle ABC, de quelque manière qu'ils soient pris, sont plus grands que le côté restant ; c'est-à-dire que les côtés BA, AC sont plus grands que le côté BC ; les côtés AB, BC plus grands que le côté AC, et les côtés BC, CA plus grands que le côté AB.
Prolongez le côté AB vers le point D, faites la droite DA égale à la droite CA (prop. 3), et conduisez la droite DC.
Puisque la droite DA est égale à la droite AC, l'angle ADC sera égal à l'angle ACD (prop. 5) ; mais l'angle BCD est plus grand que l'angle ACD (ax. 9) ; donc l'angle BCD est plus grand que l’angle ADC : donc, puisque dans le triangle DCB, l'angle BCD est plus grand que l'angle BDC, et qu'un plus grand côté est opposé à un plus grand angle (prop. 19), le côté DB sera plus grand que le côté BC ; mais la droite DB est égale aux côtés AB, AC; donc les côtés AB, AC sont plus grands que le côté BC. Nous démontrerons de la même manière que les côtés AB, BC sont plus grands que le côté CA, et les côtés BC, CA plus grands que le côté AB.
Donc deux côtés d'un triangle quelconque, de quelque manière qu'ils soient pris, sont plus grands que le côté restant ; ce qu'il fallait démontrer.