Si une droite placée sur une autre droite fait des angles, elle fera avec elle ou deux angles droits ou deux angles égaux à deux angles droits.
Qu'une droite quelconque AB (fig. 13) placée sur une droite DC fasse les angles CBA, ABD : je dis que les angles CBA, ABD ou seront droits ou égaux à deux droits.
Car si l'angle CBA est égal à l'angle ABD, ces deux angles seront droits (déf. 10). Si le contraire arrive, du point B conduisez la droite BE de manière qu'elle fasse deux angles droits avec la droite DC (prop. 11). Puisque l'angle CBE est égal aux deux angles CBA, ABE, si on ajoute un angle commun EBD, les angles CBE, EBD seront égaux aux trois angles CBA, ABE, EBD. De plus, comme l'angle DBA est égal aux deux angles DBE, EBA, si on ajoute un angle commun ABC, les angles DBA, ABC seront égaux aux trois angles DBE, EBA, ABC ; or il a été démontré que les angles CBE, EBD sont aussi égaux à ces trois angles : donc puisque les choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles, les angles CBE, EBD seront égaux aux angles DBA, ABC; mais les angles CBE, EBD sont deux angles droits ; donc les angles DBA, ABC sont égaux à deux angles droits.
Donc si une droite placée sur une autre droite forme des angles, elle fera ou deux angles droits ou deux angles égaux à deux droits; ce qu'il fallait démontrer.