Sur une droite donnée et indéfinie et d'un point placé hors d'elle, mener une perpendiculaire.
Soit AB (fig. 12) la droite donnée et indéfinie, et C le point donné placé hors de cette droite : il faut sur cette droite donnée et indéfinie AB, conduire du point donné C, pris hors de cette droite, une droite perpendiculaire.
Prenez de l'autre côté de la droite AB un point quelconque D, et du centre C et avec un intervalle CD décrivez une circonférence EFG (dem. 3), partagez la droite EG en deux parties égales au point H (prop. 10), et conduisez les droites CG, CH, CE : je dis que sur la droite indéfinie AB et du point donné C placé hors de cette droite on a mené une perpendiculaire CH.
Car puisque la droite GH est égale à la droite HE, et que la droite CH est commune, les deux droites GH, HC sont égales aux deux droites EH, HC, chacune à chacune ; mais la base CG est aussi égale à la base CE (déf. 15) : donc l'angle GHG est égal à l'angle EHC (prop. 8). Or ces deux angles sont de suite ; mais lorsqu'une droite tombant sur une droite fait avec elle les angles de suite égaux entre eux, chacun de ces angles est droit, et la droite tombante est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle tombe.
Donc on a conduit une perpendiculaire CH sur la droite indéfinie AB, du point donné C, qui est placé hors de cette droite ; ce qu'il fallait faire.