Dans les triangles isocèles les angles placés sur la base sont égaux entre eux, et les côtés égaux étant prolongés, les angles placés au-dessous de la base seront aussi égaux entre eux.
Soit le triangle isocèle ABC (fig. 5) dont le côté AB est égal au côté AC ; prolongez les droites AB, AC, vers D et vers E (dem. 2) : je dis que l'angle ABC est égal à l'angle ACB et que l'angle CBD est encore égal à l'angle BCE.
Car prenons sur la droite BD un point quelconque F, et de la droite AE retranchons la droite AG égale à la droite AF, qui est plus petite que la droite AE (prop. 3), et conduisons les droites FC et GB.
Puisque la droite AF est égale à la droite AG et la droite AB à la droite AC, les deux droites FA, CA seront égales au deux droites GA, BA chacune à chacune ; mais ces droites comprennent l'angle commun FAG : donc (prop. 4) la base FC sera égale à la base GB ; le triangle AFC sera égal au triangle AGB et les autres angles compris entre les côtés égaux de ce deux triangles seront aussi égaux entre eux, c'est-à-dire, l'angle ACF égal à l'angle ABG, et l'angle AFC à l'angle AGB ; mais comme la droite AF est égale à la droite AG et la droite AB à la droite AC, la droite BF égalera la droite CG (axiome 3) ; mais il a été démontré que la droite FC est égale à la droite GB : donc les deux droites BF, FC sont égales aux droites CG, GB chacune à chacune ; mais l'angle BFC est égal à l'angle CGB et la droite BC est la base commune de ces deux triangles : donc le triangle BFC sera égal au triangle CGB et les autres angles compris entre les côtés égaux de ces deux triangles seront aussi égaux chacun à chacun (prop. 4) : donc l'angle FBC est égal à l'angle GCB, et l'angle BCF égal aussi à l'angle CBG. Mais comme il a été démontré que l'angle total ABG est égal à l'angle total ACF et que l'angle CBG est aussi égal à l'angle CBF, l'angle restant ABC (axiome 3) et l'angle restant ACB placés sur la base seront égaux. Il a été démontré aussi que les angles FBC et GCB placés au-dessous de la base sont aussi égaux.
Donc dans les triangles isocèles les angles placés sur la base sont égaux entre eux, et les côtés égaux étant prolongés, les angles placés au-dessous de la base seront aussi égaux entre eux; (Q.E.D.)